一、理论基础

对数字识别的方法有很多，本文从人工神经网络的角度出发，介绍一种数字识别的方法。人工神经网络中的Hopfield网是一种回馈型网络，其通过网络神经元状态的变迁而最终稳定于平衡状态，并且这种网络具有联想记忆(Autoassociative Memory)能力，能够从某一残缺的信息回忆起所属的完整的记忆信息，这为数字识别奠定了理论基础。

在数字识别中，将规范的阿拉伯数字(0到9)视为网络中的各个神经元，当其到达稳定状态后，对于一个不规范的数字的输入，网络可以根据输入进行联想记忆，记忆的结果即可视为识别的结果。

具体的操作步骤可以如下：利用Hebbian理论进行网络学习，可得到一个网络权值矩阵w，最后，将输入s与w进行联想记忆操作。

二、具体实现

本文在MFC中实现了对数字"0","1","2"的识别，程序运行结果如下图所示：（文章的末尾提供了源代码下载）

所有的样本和输入输出，都是在一个6*5的网格内进行的，如果一个Cell被填充了黑色，则该Cell的值为-1，返之为1，因此，可以将一个阿拉伯数字的信息数字化为一个1*30的矩阵。界面上方的网格显示了"0","1","2"这三个样本的表示，左下方的网格接收输入（通过鼠标点击或滑动来填充颜色），点击"Recognize"按钮后，识别的结果在右下方的网格内显示。点击"Clear"按钮，则清除输入与输出，准备下一次识别。在上图中，虽然输入了一个不完整、且含有若干噪声点的数字"2"，但最后还是输出了一个完整的数字"2"。

程序的关键部分是网格的绘制和矩阵运算。网格对象包括了起始坐标、行高、列宽、行数、列数等属性，以及绘制、填充、数字化等操作，将这些封装到一个类里，有效的提高了程序的可读性和可扩展性。如：为了提高精度，需要将数字显示在一个60*50的网格内时，只须修改相关参数即可。本例中数字的表示是一个1*30的矩阵，w是一个30*30的矩阵，而计算w时需要用到矩阵的乘法、加法、转置操作，下面是矩阵运算的C++关键代码：

//矩阵的乘法运算
int** Matrix::Multiply(int **a, int **b, int ra, int ca, int rb, int cb)
{
	if(ca != rb)
	{
		return NULL;
	}

	int **result = new int*[ra];
	int i, j, k, sum;
	for(i = 0;i < ra;i++)
	{
		result[i] = new int[cb];
		for(j = 0;j < cb;j++)
		{
			sum = a[i][0] * b[0][j];
			for(k = 1;k < ca;k++)
			{
				sum += a[i][k] * b[k][j];
			}
			result[i][j] = sum;
		}
	}
	
	return result;
}

//矩阵的加法运算
int** Matrix::Addition(int **a, int **b, int ra, int ca, int rb, int cb)
{
	if(ra != rb || ca != cb)
	{
		return NULL;
	}

	int **result = new int*[ra];
	int i, j;
	for(i = 0;i < ra;i++)
	{
		result[i] = new int[ca];
		for(j = 0;j < cb;j++)
		{
			result[i][j] = a[i][j] + b[i][j];
		}
	}
	return result;
}

//矩阵的转置运算
int** Matrix::Transpose(int **a, int ra, int ca)
{
	int tmp, i, j;
	tmp = ra;
	ra = ca;
	ca = tmp;
	int** result = new int*[ra];
	for(i = 0;i < ra;i++)
	{
		result[i] = new int[ca];
		for(j = 0;j < ca;j++)
		{
			result[i][j] = a[j][i];
		}
	}
	return result;
}

本程序可以扩展成样本由用户输入的模式，这样会使程序更加灵活。本程序也只是一个数字识别的最简单实现，存在很多识别不准确的情况，可以利用更多的理论知识对算法进行改进，提高识别的准确度。当然，Autoassociative Memory还可以用在数识别以外的很多领域，如：考古中对模糊文字的识别、车牌字母和数字的识别，本文只是起到一个抛砖引玉的作用，介绍的深度和广度都还不够。

Resources & Reference:
1、Autoassociative Memory.pdf
2、Supervised Hebbian Learning.pdf
3、何建华-神经网络讲义-part5-Hopfield网络.ppt
4、数字识别MFC源代码下载