粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)是在1995年由美国社会心理学家James Kennedy和电气工程师Russell Eberhart共同提出的，其基本思想是受他们早期对鸟类群体行为研究结果的启发，并利用了生物学家Frank Heppner的生物群体模型。PSO算法与遗传算法类似，是一种基于迭代的优化算法，但无交叉变异等操作，其搜索过程是通过粒子在解空间中不断更新自己的速度和位置，以追随最优粒子而进行的。

PSO算法首先随机的初始化一个粒子群体，通过迭代寻找最优解，在每一次迭代过程中，每个粒子目前所找到的最优解为pBest，整个种群目前所找到的最优解为gBest，每个粒子通过这两极值来更新自己的速度和位置，相应的公式为：

v = v + c1 * rand() * (pbest - present) + c2 * rand() * (gbest - present)
present = persent + v

其中，v为粒子的速度，present为粒子的位置(在具体应用中pBest, gBest, v, present为向量)，rand()产生0到1之间的随机数，c1和c2为学习因子。在进化迭代过程中，须根据实际需要为v和present指定范围。

PSO算法可用于BP神经网络的网络权值优化中，传统的BP神经网络采用误差反向传播来调整网络连接权值，该方法容易陷入局部最优解，而PSO算法可以在更大的空间内搜索，在一定程度上避免了以上问题。

将神经网络各层的连接权值编码成粒子，适应度值则为使用该组权值时的网络输出均方误差，利用之前描述的粒子群算法，在预设的迭代次数内搜索最优的网络权值。

以下的Matlab程序演示了PSO优化BP网络的过程，程序的目的是使用BP神经网络进行正弦函数逼近，使用3层神经网络，隐含层由3个神经元组成，粒子群共包含20个粒子，每个粒子的长度为10。其中BP网络使用Matlab自带的工具箱，非工具箱的实现可参考：BP网络的函数逼近在Matlab中的实现

clear;
clc;

p = 0 : 0.01 : 2;
t = sin(pi * p);
n = 3;   %隐含层神经元个数
net = newff(p, t, n, {'tansig','purelin'}, 'trainlm');

swarmCount = 20;   %粒子数
swarmLength = 10;   %粒子长度
vMax = 20;   %粒子运动最大速度
pMax = 2;   %粒子运动最大位置
swarm = rand(swarmCount, swarmLength);   %初始粒子群,即粒子的位置
v = rand(swarmCount, swarmLength);   %粒子的速度
swarmfitness = zeros(swarmCount, 1, 'double');   %粒子的适应度值
pBest = rand(swarmCount, swarmLength);   %个体最优值
pBestfitness = zeros(swarmCount, 1, 'double');   %个体最优适应度值
pBestfitness(:, :) = 100;
gBest = rand(1, swarmLength);   %全局最优值
gBestfitness = 100;   %全局最优适应度值
c1 = 2;
c2 = 2;
maxEpoch = 2000;   %最大训练次数
errGoal = 0.01;   %期望误差最小值
epoch = 1;
while (epoch < maxEpoch && gBestfitness > errGoal)
    for i = 1 : swarmCount
        %计算粒子的适应度值
        net.iw{1, 1} = swarm(i, 1 : 3)';
        net.b{1} = swarm(i, 4 : 6)';
        net.lw{2, 1} = swarm(i, 7 : 9);
        net.b{2} = swarm(i, 10 : 10);
        tout = sim(net, p);
        sse = sum((tout - t) .^ 2) / length(t);
        swarmfitness(i, 1) = sse;
        %更新个体最优值
        if (pBestfitness(i, 1) > sse)
            pBestfitness(i, 1) = sse;
            pBest(i, :) = swarm(i, :);
            
            %更新全局最优值
            if(gBestfitness > sse)
                gBestfitness = sse;
                gBest(1, :) = swarm(i, :);
            end
        end
    end

    %更新粒子的速度和位置
    for i = 1 : swarmCount
        v(i, :) = v(i, :) + c1 * rand(1, 1) * (pBest(i, :) - swarm(i, :)) + c2 * rand(1, 1) * (gBest(1, :) - swarm(i, :));
        tmp = find(v(i, :) > vMax);
        v(i, tmp) = vMax;

        swarm(i, :) = swarm(i, :) + v(i, :);
        tmp = find(swarm(i, :) > pMax);
        swarm(i, tmp) = pMax;
    end
    
    epoch = epoch + 1;
end

net.iw{1, 1} = gBest(1, 1 : 3)';
net.b{1} = gBest(1, 4 : 6)';
net.lw{2, 1} = gBest(1, 7 : 9);
net.b{2} = gBest(1, 10 : 10);
tout = sim(net, p);

figure, plot(p, t, 'k-');
hold on;
plot(p, tout, 'b-');

针对粒子群算法的改进研究也非常多，如我们江南大学的孙俊老师提出的量子粒子群算法(Quantum-behaved Particle Swarm Optimization)在学术圈内就具有较大影响，在量子空间中，粒子可以在整个可行解空间中进行搜索，因而QPSO算法的全局搜索性能远远优于标准PSO算法。最近的研究中使用了自适应神经模糊系统(Adaptive Neuro-Fuzzy System)，后续计划使用QPSO算法对模糊系统进行优化。